极限与连续 第二单元作业 1、 问题:设，，且在附近有. 证明 评分规则: 【
第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元测验
1、 问题:平面点集的非孤立界点必是
选项：
A:内点
B:外点
C:聚点
D:孤立点
答案: 【聚点】
2、 问题:平面点集的外点必是
选项：
A:聚点
B:孤立点
C:界点
D:其他选项都不对
答案: 【其他选项都不对】
3、 问题:下面哪个选项不可能是二元函数的图像
选项：
A:坐标平面
B:
平面上的点集
C:坐标轴
D:三维空间中的球面
答案: 【三维空间中的球面】
4、 问题:开集中的点可能是
选项：
A:集合的内点
B:集合的外点
C:集合的聚点
D:集合的界点
答案: 【集合的内点;
集合的聚点】
5、 问题:非空域中的点可能是
选项：
A:集合的内点
B:集合的界点
C:集合的外点
D:集合的聚点
答案: 【集合的内点;
集合的界点;
集合的聚点】
6、 问题:二元函数的定义域可能是
选项：
A:平面上的曲线
B:平面上的闭集
C:三维空间上的球及其内部
D:三维空间上的立方体
答案: 【平面上的曲线;
平面上的闭集】
7、 问题:平面上点
的空心
邻域是
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
8、 问题:平面上点的空心邻域是
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
9、 问题:闭域一定是连通闭集
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
10、 问题:连通开集一定是开域
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
11、 问题:闭域套定理相应的开域套定理仍成立
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
12、 问题:无界点集必有聚点
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
13、 问题:有界点集的任意开覆盖必有有限子覆盖
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
14、 问题:有界闭集的任意开集覆盖必有有限子覆盖
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】
15、 问题:平面点集的聚点一定属于该点集
A:正确
B:错误
答案: 【错误】
【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元作业
1、 问题:设
，
，且在
附近有
. 证明
评分规则: 【 由，对任意
，存在
，当
时，
由，对上述，存在正数
，当
时，
取
，在邻域
上，
，所以
】
2、 问题:讨论函数
在点(0，0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 
时，
不存在，所以累次极限
不存在
同理另一个累次极限也不存在
而
，所以重极限存在，为0
】
3、 问题:讨论函数
在点(0，0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，
，所以累次极限
时，
，所以累次极限
， 
，所以重极限不存在
】
4、 问题:讨论函数
在点(0，0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，
不存在，所以累次极限等于0
同理另一个累次极限也为0
， 
所以重极限不存在
】
5、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部保号性定理
评分规则: 【 若
在点
处存在极限
且
，则存在邻域
，在上恒大于0
利用极限定义，取
，则存在邻域，在上
那么在上，
】
6、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限， 则存在邻域，在上有界
利用极限定义，取
，则存在邻域，在上
那么在上，
】
7、 问题:叙述并证明二元函数极限的唯一性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限， 则极限值唯一
反证，假设极限值不唯一，即有两个不同的实数
都是在点处的极限
不妨设
，利用极限定义，取
，则存在邻域
，在上
， 所以有
对上述的，存在邻域
，在上
， 所以有
取， 在邻域上，
，矛盾，所以极限值必唯一
】
【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元作业
1、 问题:已知
，求
评分规则: 【 
】
2、 问题:设
，若当
时
，，求函数
和
.
评分规则: 【 
】
3、 问题:求函数
的定义域，其中
评分规则: 【 
】
4、 问题:证明开集的余集为闭集
评分规则: 【 设
为开集，对
的任意聚点，要证明
，即要证明不属于
反证，假设
，由开，存在
，使
由是的聚点，对任意，
两者矛盾，所以反证假设不成立，即不属于，所以，由的任意性，是闭集.
】
5、 问题:证明开集的并和交仍是开集
评分规则: 【 
都是开集，对任意的
，即
且
所以，存在
，使得
，
令，则
，所以是
的内点，由的任意性，开
对任意的
，即或
所以，存在，使得，
所以
， 所以是的内点，由的任意性，开
】
点击这里，查看后续答案①
点击这里，查看后续答案②（阿布查查更好用）
由，对任意，存在，当时， 由，对上述，存在正数，当时， 取，在邻域上，，所以 】